Τι σημαίνει το Bobo BOTN eats DC;

Ο τρόπος που μου αρέσει να θυμάμαι τις οριζόντιες ασύμπτωτες (HAs) είναι: BOBO BOTN EATS DC (Bigger On Bottom, ασύμπτωτο είναι 0, Bigger On Top, No asymptote, Exponents are The Same, Divide Coefficients).

Τι σημαίνει ο Μπόμπο στα μαθηματικά;

Συγκρίνετε τον πρώτο εκθέτη του αριθμητή και τον κύριο εκθέτη του παρονομαστή. Τότε ο BOBO BOTN EATS DC. Τι σημαίνει BOBO; Ισοδύναμα, ορίστε τον αριθμητή ίσο με το μηδέν και λύστε το x.

Πώς βρίσκετε οριζόντιες ασύμπτωτες;

Για να βρείτε οριζόντιες ασύμπτωτες:

  1. Εάν ο βαθμός (ο μεγαλύτερος εκθέτης) του παρονομαστή είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του αριθμητή, η οριζόντια ασύμπτωτη είναι ο άξονας x (y = 0).
  2. Εάν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, δεν υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη.

Τι είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη;

Οι κάθετες ασύμπτωτες είναι κάθετες γραμμές που αντιστοιχούν στα μηδενικά του παρονομαστή μιας ορθολογικής συνάρτησης. (Μπορούν επίσης να προκύψουν σε άλλα πλαίσια, όπως οι λογάριθμοι, αλλά είναι σχεδόν βέβαιο ότι πρώτα θα συναντήσετε ασύμπτωτες στο πλαίσιο των ορθολογικών.)

Πώς ξέρετε αν δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες;

Η κατακόρυφη ασύμπτωτη μιας ορθολογικής συνάρτησης εμφανίζεται όταν ο παρονομαστής γίνεται μηδέν. Αν μια συνάρτηση όπως οποιοδήποτε πολυώνυμο y=x2+x+1 δεν έχει καθόλου κάθετη ασύμπτωτη γιατί ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδενικά. αν και x≠a. Ωστόσο, εάν το x ορίζεται στο a, δεν υπάρχει αφαιρούμενη ασυνέχεια.

Πώς βρίσκετε την τρύπα μιας συνάρτησης;

Πριν βάλετε την ορθολογική συνάρτηση σε χαμηλότερους όρους, συνυπολογίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Αν υπάρχει ο ίδιος παράγοντας στον αριθμητή και στον παρονομαστή, υπάρχει μια τρύπα. Ορίστε αυτόν τον παράγοντα ίσο με μηδέν και λύστε. Η λύση είναι η τιμή x της οπής.

Πώς προσδιορίζετε την τελική συμπεριφορά;

Η τελική συμπεριφορά μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι η συμπεριφορά της γραφικής παράστασης της f(x) καθώς το x πλησιάζει το θετικό άπειρο ή το αρνητικό άπειρο. Ο βαθμός και ο κύριος συντελεστής μιας πολυωνυμικής συνάρτησης καθορίζουν την τελική συμπεριφορά του γραφήματος.

Πώς βρίσκετε την τιμή y μιας τρύπας;

Οι πιθανές τομές x βρίσκονται στα σημεία (-1,0) και (3,0). Για να βρείτε τη συντεταγμένη y της οπής, απλώς συνδέστε το x = -1 σε αυτή τη μειωμένη εξίσωση για να λάβετε y = 2. Έτσι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο (-1,2). Εφόσον ο βαθμός του αριθμητή ισούται με τον βαθμό του παρονομαστή, υπάρχει μια οριζόντια ασύμπτωτη.

Ποιο είναι το όριο σε μια τρύπα;

Το όριο σε μια τρύπα: Το όριο σε μια τρύπα είναι το ύψος της τρύπας. είναι απροσδιόριστο, το αποτέλεσμα θα ήταν μια τρύπα στη συνάρτηση. Οι τρύπες λειτουργίας συχνά προέρχονται από την αδυναμία διαίρεσης του μηδέν με το μηδέν.

Υπάρχει όριο αν δεν υπάρχει τρύπα;

Εάν υπάρχει μια τρύπα στο γράφημα στην τιμή που πλησιάζει το x, χωρίς άλλο σημείο για διαφορετική τιμή της συνάρτησης, τότε το όριο εξακολουθεί να υπάρχει. Εάν το γράφημα πλησιάζει δύο διαφορετικούς αριθμούς από δύο διαφορετικές κατευθύνσεις, καθώς το x πλησιάζει έναν συγκεκριμένο αριθμό τότε το όριο δεν υπάρχει.

Πώς καταλαβαίνετε αν δεν υπάρχει όριο;

Τα όρια συνήθως δεν υπάρχουν για έναν από τους τέσσερις λόγους:

  1. Τα μονόπλευρα όρια δεν είναι ίσα.
  2. Η συνάρτηση δεν πλησιάζει μια πεπερασμένη τιμή (βλ. Βασικός ορισμός ορίου).
  3. Η συνάρτηση δεν πλησιάζει μια συγκεκριμένη τιμή (ταλάντωση).
  4. Η τιμή x πλησιάζει το τελικό σημείο ενός κλειστού διαστήματος.

Είναι συνεχές αν υπάρχει τρύπα;

Αυτό το είδος ασυνέχειας ονομάζεται αφαιρούμενη ασυνέχεια. Αφαιρούμενες ασυνέχειες είναι εκείνες όπου υπάρχει μια τρύπα στο γράφημα όπως υπάρχει σε αυτήν την περίπτωση. Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση είναι συνεχής εάν η γραφική παράσταση της δεν έχει τρύπες ή σπασίματα. Για πολλές λειτουργίες είναι εύκολο να προσδιοριστεί πού δεν θα είναι συνεχής.

Υπάρχει όριο σε ανοιχτό κύκλο;

Ένας ανοιχτός κύκλος (ονομάζεται επίσης αφαιρούμενη ασυνέχεια) αντιπροσωπεύει μια τρύπα σε μια συνάρτηση, η οποία είναι μια συγκεκριμένη τιμή του x που δεν έχει τιμή f(x). Έτσι, εάν μια συνάρτηση πλησιάζει την ίδια τιμή τόσο από τη θετική όσο και από την αρνητική πλευρά και υπάρχει μια τρύπα στη συνάρτηση σε αυτήν την τιμή, το όριο εξακολουθεί να υπάρχει.

Είναι απροσδιόριστη μια τρύπα;

Μια τρύπα σε ένα γράφημα μοιάζει με κοίλο κύκλο. Αντιπροσωπεύει το γεγονός ότι η συνάρτηση πλησιάζει το σημείο, αλλά στην πραγματικότητα δεν ορίζεται σε αυτήν την ακριβή τιμή x. Όπως μπορείτε να δείτε, η f(−12) είναι απροσδιόριστη επειδή κάνει τον παρονομαστή του ορθολογικού μέρους της συνάρτησης μηδέν, πράγμα που καθιστά απροσδιόριστη ολόκληρη τη συνάρτηση.

Υπάρχουν όρια στις γωνίες;

Το όριο είναι η τιμή που προσεγγίζει η συνάρτηση όταν η x (ανεξάρτητη μεταβλητή) πλησιάζει ένα σημείο. παίρνει μόνο θετικές τιμές και προσεγγίζει το 0 (προσεγγίζει από δεξιά), βλέπουμε ότι η f(x) πλησιάζει επίσης το 0. η ίδια είναι μηδέν! υπάρχουν σε γωνιακά σημεία.

Μπορεί ένα παράγωγο να υπάρχει σε μια τρύπα;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης σε αυτό το σημείο. Έτσι, εάν δεν μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη γραμμή, δεν υπάρχει παράγωγος — αυτό συμβαίνει στις περιπτώσεις 1 και 2 παρακάτω. Μια αφαιρούμενη ασυνέχεια - αυτός είναι ένας φανταχτερός όρος για μια τρύπα - όπως οι τρύπες στις συναρτήσεις r και s στο παραπάνω σχήμα.

Γιατί δεν υπάρχει παράγωγο σε μια γωνία;

Με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορούμε να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε γωνία ή άκρο στο γράφημα, επειδή η κλίση δεν ορίζεται εκεί, καθώς η κλίση στα αριστερά του σημείου είναι διαφορετική από την κλίση προς τα δεξιά. του σημείου. Επομένως, μια συνάρτηση δεν είναι διαφοροποιήσιμη ούτε σε μια γωνία.

Πώς ξέρετε αν υπάρχει παράγωγο;

Σύμφωνα με τον ορισμό 2.2. 1, η παράγωγος f′(a) υπάρχει ακριβώς όταν υπάρχει το όριο limx→af(x)−f(a)x−a lim x → a f ( x) − f ( a ) x − a. Αυτό το όριο είναι επίσης η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη y=f(x) y = f ( x) στο x=a.

Μπορούν τα παράγωγα να είναι μηδέν;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης, η f(x) είναι μηδέν σε ένα σημείο, το p σημαίνει ότι το p είναι ένα ακίνητο σημείο. Δηλαδή, δεν «κινείται» (ο ρυθμός μεταβολής είναι 0). Για παράδειγμα, η f(x)=x2 έχει ελάχιστο στο x=0, η f(x)=−x2 έχει μέγιστο στο x=0 και η f(x)=x3 δεν έχει κανένα από τα δύο. Μπορείτε να το δείτε αυτό κοιτάζοντας την παράγωγο αριστερά και δεξιά.

Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο;

Το κρίσιμο σημείο είναι ένας ευρύς όρος που χρησιμοποιείται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Όταν ασχολούμαστε με συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, ένα κρίσιμο σημείο είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης όπου η συνάρτηση είτε δεν είναι διαφορίσιμη είτε η παράγωγος είναι ίση με μηδέν.

Πώς ξέρετε εάν ένα κρίσιμο σημείο είναι μέγιστο ή ελάχιστο;

Προσδιορίστε εάν καθένα από αυτά τα κρίσιμα σημεία είναι η θέση ενός μέγιστου, ελάχιστου ή σημείου καμπής. Για κάθε τιμή, δοκιμάστε μια τιμή x ελαφρώς μικρότερη και ελαφρώς μεγαλύτερη από αυτήν την τιμή x. Αν και τα δύο είναι μικρότερα από f(x), τότε είναι μέγιστο. Αν και τα δύο είναι μεγαλύτερα από f(x), τότε είναι ελάχιστο.

Τι σημαίνει υπερκρίσιμο;

Τι σημαίνει «υπερκρίσιμο»; Οποιαδήποτε ουσία χαρακτηρίζεται από ένα κρίσιμο σημείο το οποίο λαμβάνεται σε συγκεκριμένες συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας. Όταν μια ένωση υποβάλλεται σε πίεση και θερμοκρασία υψηλότερη από το κρίσιμο σημείο της, το ρευστό λέγεται ότι είναι «υπερκρίσιμο».

Τι συμβαίνει σε ένα κρίσιμο σημείο;

Καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, η τάση ατμών αυξάνεται και η αέρια φάση γίνεται πιο πυκνή. Το υγρό διαστέλλεται και γίνεται λιγότερο πυκνό έως ότου, στο κρίσιμο σημείο, οι πυκνότητες υγρού και ατμού γίνουν ίσες, εξαλείφοντας το όριο μεταξύ των δύο φάσεων.

Γιατί είναι σημαντικό το κρίσιμο σημείο;

Αυτό το γεγονός συχνά βοηθά στον εντοπισμό ενώσεων ή στην επίλυση προβλημάτων. Το κρίσιμο σημείο είναι η υψηλότερη θερμοκρασία και πίεση στην οποία μπορεί να υπάρχει ένα καθαρό υλικό σε ισορροπία ατμού/υγρού. Σε θερμοκρασίες υψηλότερες από την κρίσιμη θερμοκρασία, η ουσία δεν μπορεί να υπάρχει ως υγρό, ανεξάρτητα από την πίεση.

Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο στο διάγραμμα TS;

Στη θερμοδυναμική, ένα κρίσιμο σημείο (ή κρίσιμη κατάσταση) είναι το τελικό σημείο μιας καμπύλης ισορροπίας φάσης. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το κρίσιμο σημείο υγρού-ατμού, το τελικό σημείο της καμπύλης πίεσης-θερμοκρασίας που ορίζει τις συνθήκες υπό τις οποίες ένα υγρό και ο ατμός του μπορούν να συνυπάρξουν.

Πώς ταξινομείτε τα κρίσιμα σημεία;

Ταξινόμηση κρίσιμων σημείων

  1. Τα κρίσιμα σημεία είναι μέρη όπου το ∇f=0 ή το ∇f δεν υπάρχει.
  2. Τα κρίσιμα σημεία είναι όπου το εφαπτομένο επίπεδο στο z=f(x,y) είναι οριζόντιο ή δεν υπάρχει.
  3. Όλα τα τοπικά άκρα είναι κρίσιμα σημεία.
  4. Δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία τοπικά άκρα. Συχνά, είναι σημεία σέλας.

Πώς βρίσκετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης με δύο μεταβλητές;

Για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, f(x), βρίσκουμε τα τοπικά μέγιστα/ελάχιστα με διαφοροποίηση. Τα μέγιστα/ελάχιστα εμφανίζονται όταν f (x) = 0. x = a είναι μέγιστο εάν f (a) = 0 και f (a) 0; Ένα σημείο όπου f (a) = 0 και f (a) = 0 ονομάζεται σημείο καμπής.

Πώς ξέρετε αν ένα κρίσιμο σημείο είναι ένα σημείο σέλας;

Αν D<0 τότε το σημείο (a,b) είναι σημείο σέλας. Αν D=0 τότε το σημείο (a,b) μπορεί να είναι σχετικό ελάχιστο, σχετικό μέγιστο ή σημείο σέλας. Θα χρειαστεί να χρησιμοποιηθούν άλλες τεχνικές για την ταξινόμηση του κρίσιμου σημείου.

Πώς βρίσκετε το σχετικό μέγιστο και ελάχιστο;

Βρείτε την πρώτη παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) και βρείτε τους κρίσιμους αριθμούς. Στη συνέχεια, βρείτε τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) και βάλτε τους κρίσιμους αριθμούς. Εάν η τιμή είναι αρνητική, η συνάρτηση έχει σχετικά μέγιστα σε αυτό το σημείο, εάν η τιμή είναι θετική, η συνάρτηση έχει σχετικά μέγιστα σε αυτό το σημείο.